Линейная алгебра №12. Правило Крамера

Правило Крамера (метод Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с использованием определителей. Назван в честь швейцарского математика Габриэля Крамера, который предложил его в 1750 году. Суть метода: каждую переменную можно выразить через отношение определителей, где числителем будет определитель, составленный из столбцов матрицы коэффициентов и свободных членов. Условия: Метод Крамера применим к квадратным системам уравнений — число уравнений должно совпадать с числом неизвестных. Ключевое условие — определитель матрицы коэффициентов должен быть ненулевым. Если определитель равен нулю, система либо не имеет решений, либо имеет бесконечное количество решений, и метод Крамера не может быть применён. Алгоритм: Для применения метода Крамера система линейных уравнений записывается в матричной форме: где A — квадратная матрица коэффициентов, X — вектор неизвестных, B — вектор свободных членов. Алгоритм включает следующие шаги: Вычисление основного определителя — D = det(A). Замена столбцов матрицы A для нахождения определителей для каждой переменной. Например, для переменной x заменяют первый столбец матрицы A на вектор B и находят определитель, для переменной y — второй столбец матрицы A на вектор B и находят определитель. Вычисление значений переменных: каждое неизвестное вычисляется как отношение соответствующего определителя к основному определителю. Примеры: Для системы из двух уравнений с двумя неизвестными вычисляются два определителя — один для первого уравнения и второй для второго, и затем результаты делятся на определитель системы. Недостаток метода — он требует вычисления определителей, что может быть трудоёмким для больших систем. Также метод не подходит для систем с параметрами.