11 класс. Алгебра. Формулы Производных и Их Применение
В этом уроке мы рассмотрим формулы производных и их применение на примерах. Мы будем работать с формулами, которые помогают находить производные различных функций, и научимся использовать их для решения задач. Основные Цели Урока: Познакомиться с основными формулами производных. Научиться применять правила дифференцирования для нахождения производных различных функций. Решать задачи на нахождение наибольших и наименьших значений функций, а также точек максимума и минимума. Ключевые Пункты: Производная постоянной функции равна нулю. Производная степенной функции \( y = x^n \) равна \( y' = n x^{n-1} \). Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их производных. Производная произведения функций \( y = u(x) \cdot v(x) \) равна \( y' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \). Производная дроби \( y = \frac{u(x)}{v(x)} \) равна \( y' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2} \). Производная корня \( y = \sqrt{x} \) равна \( y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \). Производная логарифма \( y = \ln(x) \) равна \( y' = \frac{1}{x} \). Производная экспоненциальной функции \( y = e^x \) равна \( y' = e^x \). Примеры Решений: 1. Найдите наибольшее значение функции \( y = x \sqrt{x} \) на интервале \([140, 145]\). Преобразуем функцию: \( y = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2} \). Возьмем производную: \( y' = \frac{3}{2} x^{1/2} \). Приравняем производную к нулю: \( \frac{3}{2} x^{1/2} = 0 \). Решим уравнение: \( x = 144 \). Подставим \( x = 144 \) в исходную функцию: \( y = 144 \cdot \sqrt{144} = 144 \cdot 12 = 1728 \). 2. Найдите точку максимума функции \( y = x^3 + 15x^2 \) на интервале \([-10, 0]\). Возьмем производную: \( y' = 3x^2 + 30x \). Приравняем производную к нулю: \( 3x^2 + 30x = 0 \). Решим уравнение: \( 3x(x + 10) = 0 \), \( x = 0 \) или \( x = -10 \). Исследуем точки методом интервалов: \( x = -10 \) — точка максимума, \( x = 0 \) — точка минимума. 3. Найдите точку минимума функции \( y = \frac{36}{x} - x \). Преобразуем функцию: \( y = \frac{36}{x} - x \). Возьмем производную: \( y' = -\frac{36}{x^2} - 1 \). Приравняем производную к нулю: \( -\frac{36}{x^2} - 1 = 0 \). Решим уравнение: \( \frac{36}{x^2} = 1 \), \( x^2 = 36 \), \( x = 6 \) или \( x = -6 \). Исследуем точки методом интервалов: \( x = -6 \) — точка минимума. 4. Найдите наименьшее значение функции \( y = x + \frac{64}{x} + 13 \) на интервале \([0.5, 10]\). Возьмем производную: \( y' = 1 - \frac{64}{x^2} \). Приравняем производную к нулю: \( 1 - \frac{64}{x^2} = 0 \). Решим уравнение: \( \frac{64}{x^2} = 1 \), \( x^2 = 64 \), \( x = 8 \) или \( x = -8 \). Подставим \( x = 8 \) в исходную функцию: \( y = 8 + \frac{64}{8} + 13 = 8 + 8 + 13 = 29 \). 5. Найдите наибольшее значение функции \( y = (x + 2)^2 (x + 8) - 7 \) на интервале \([-10, 10]\). Применим правило дифференцирования для произведения: \( y' = 2(x + 2)(x + 8) + (x + 2)^2 \). Приравняем производную к нулю: \( 2(x + 2)(x + 8) + (x + 2)^2 = 0 \). Решим уравнение: \( 2(x + 2)(x + 8) + (x + 2)^2 = 0 \), \( (x + 2)(3x + 18) = 0 \), \( x = -2 \) или \( x = -6 \). Исследуем точки методом интервалов: \( x = -6 \) — точка максимума. Подставим \( x = -6 \) в исходную функцию: \( y = (-6 + 2)^2 (-6 + 8) - 7 = 16 \cdot 2 - 7 = 32 - 7 = 25 \). ____________________________________ Школа «Алгоритм» для 0-11 классов в центре Москвы. – Мультиформатное обучение: очное, гибридное (очно+онлайн) и онлайн. – Российская школьная программа, билингвальные программы на английском и китайском языках, подготовка к международным экзаменам A-Level и HSK. Сайт школы: https://a-edu.ru?utm_source=rutube_lesson-channel г. Москва, Милютинский переулок, д.18, стр. 2
В этом уроке мы рассмотрим формулы производных и их применение на примерах. Мы будем работать с формулами, которые помогают находить производные различных функций, и научимся использовать их для решения задач. Основные Цели Урока: Познакомиться с основными формулами производных. Научиться применять правила дифференцирования для нахождения производных различных функций. Решать задачи на нахождение наибольших и наименьших значений функций, а также точек максимума и минимума. Ключевые Пункты: Производная постоянной функции равна нулю. Производная степенной функции \( y = x^n \) равна \( y' = n x^{n-1} \). Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их производных. Производная произведения функций \( y = u(x) \cdot v(x) \) равна \( y' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \). Производная дроби \( y = \frac{u(x)}{v(x)} \) равна \( y' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2} \). Производная корня \( y = \sqrt{x} \) равна \( y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \). Производная логарифма \( y = \ln(x) \) равна \( y' = \frac{1}{x} \). Производная экспоненциальной функции \( y = e^x \) равна \( y' = e^x \). Примеры Решений: 1. Найдите наибольшее значение функции \( y = x \sqrt{x} \) на интервале \([140, 145]\). Преобразуем функцию: \( y = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2} \). Возьмем производную: \( y' = \frac{3}{2} x^{1/2} \). Приравняем производную к нулю: \( \frac{3}{2} x^{1/2} = 0 \). Решим уравнение: \( x = 144 \). Подставим \( x = 144 \) в исходную функцию: \( y = 144 \cdot \sqrt{144} = 144 \cdot 12 = 1728 \). 2. Найдите точку максимума функции \( y = x^3 + 15x^2 \) на интервале \([-10, 0]\). Возьмем производную: \( y' = 3x^2 + 30x \). Приравняем производную к нулю: \( 3x^2 + 30x = 0 \). Решим уравнение: \( 3x(x + 10) = 0 \), \( x = 0 \) или \( x = -10 \). Исследуем точки методом интервалов: \( x = -10 \) — точка максимума, \( x = 0 \) — точка минимума. 3. Найдите точку минимума функции \( y = \frac{36}{x} - x \). Преобразуем функцию: \( y = \frac{36}{x} - x \). Возьмем производную: \( y' = -\frac{36}{x^2} - 1 \). Приравняем производную к нулю: \( -\frac{36}{x^2} - 1 = 0 \). Решим уравнение: \( \frac{36}{x^2} = 1 \), \( x^2 = 36 \), \( x = 6 \) или \( x = -6 \). Исследуем точки методом интервалов: \( x = -6 \) — точка минимума. 4. Найдите наименьшее значение функции \( y = x + \frac{64}{x} + 13 \) на интервале \([0.5, 10]\). Возьмем производную: \( y' = 1 - \frac{64}{x^2} \). Приравняем производную к нулю: \( 1 - \frac{64}{x^2} = 0 \). Решим уравнение: \( \frac{64}{x^2} = 1 \), \( x^2 = 64 \), \( x = 8 \) или \( x = -8 \). Подставим \( x = 8 \) в исходную функцию: \( y = 8 + \frac{64}{8} + 13 = 8 + 8 + 13 = 29 \). 5. Найдите наибольшее значение функции \( y = (x + 2)^2 (x + 8) - 7 \) на интервале \([-10, 10]\). Применим правило дифференцирования для произведения: \( y' = 2(x + 2)(x + 8) + (x + 2)^2 \). Приравняем производную к нулю: \( 2(x + 2)(x + 8) + (x + 2)^2 = 0 \). Решим уравнение: \( 2(x + 2)(x + 8) + (x + 2)^2 = 0 \), \( (x + 2)(3x + 18) = 0 \), \( x = -2 \) или \( x = -6 \). Исследуем точки методом интервалов: \( x = -6 \) — точка максимума. Подставим \( x = -6 \) в исходную функцию: \( y = (-6 + 2)^2 (-6 + 8) - 7 = 16 \cdot 2 - 7 = 32 - 7 = 25 \). ____________________________________ Школа «Алгоритм» для 0-11 классов в центре Москвы. – Мультиформатное обучение: очное, гибридное (очно+онлайн) и онлайн. – Российская школьная программа, билингвальные программы на английском и китайском языках, подготовка к международным экзаменам A-Level и HSK. Сайт школы: https://a-edu.ru?utm_source=rutube_lesson-channel г. Москва, Милютинский переулок, д.18, стр. 2